Как найти график функции по формуле. Функции и их графики
В этой статье мы поговорим о том, что такое квадратичная функция
, научимся строить ее график
и определять вид графика в зависимости от знака дискриминанта и знака старшего коэффициента.
Итак.
Функция вида , где title="a0"> называется квадратичной функцией.
В уравнении квадратичной функции:
a - старший коэффициент
b - второй коэффициент
с - свободный член.
Графиком квадратичной функции является квадратичная парабола , которая для функции имеет вид:
Обратите внимание на точки, обозначенные зелеными кружками - это, так называемые "базовые точки". Чтобы найти координаты этих точек для функции , составим таблицу:
Внимание! Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент , то график квадратичной функции имеет ровно такую же форму, как график функции при любых значениях остальных коэффициентов.
График функции имеет вид:
Для нахождения координат базовых точек составим таблицу:
Обратите внимание, что график функции симметричен графику функции относительно оси ОХ.
Итак, мы заметили:
Если старший коэффициент a>0 , то ветви параболы напрaвлены вверх .
Если старший коэффициент a<0 , то ветви параболы напрaвлены вниз .
Второй параметр для построения графика функции - значения х, в которых функция равна нулю, или нули функции . На графике нули функции - это точки пересечения графика функции с осью ОХ.
Поскольку ордината (у) любой точки, лежащей на оси ОХ равна нулю, чтобы найти координаты точек пересечения графика функции с осью ОХ, нужно решить уравнение .
В случае квадратичной функции нужно .
Теперь внимание!
В процессе решения квадратного уравнения мы находим дискриминант: , который определяет число корней квадратного уравнения.
И здесь возможны три случая:
1 . Если ,то уравнение не имеет решений, и, следовательно, квадратичная парабола не имеет точек пересечения с осью ОХ. Если title="a>0">,то график функции выглядит как-то так:
2 . Если ,то уравнение имеет одно решение, и, следовательно, квадратичная парабола имеет одну точку пересечения с осью ОХ. Если title="a>0">
3 . Если title="D>0">,то уравнение имеет два решения, и, следовательно, квадратичная парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ:
Если title="a>0">,то график функции выглядит примерно так:
Следовательно, зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, мы уже можем в общих чертах определить, как выглядит график нашей функции.
Следующий важный параметр графика квадратичной функции - координаты вершины параболы:
Прямая, проходящая через вершину параболы параллельно оси OY является осью симметрии параболы.
И еще один параметр, полезный при построении графика функции - точка пересечения параболы с осью OY.
Поскольку абсцисса любой точки, лежащей на оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы с осью OY, нужно в уравнение параболы вместо х подставить ноль: .
То есть точка пересечения параболы с осью OY имеет координаты (0;c).
Итак, основные параметры графика квадратичной функции показаны на рисунке:
Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. В зависимости от того, каким образом задана квадратичная функция, можно выбрать наиболее удобный.
1 . Функция задана формулой .
Рассмотрим общий алгоритм построения графика квадратичной параболы на примере построения графика функции
1 . Направление ветвей параболы.
Так как title="a=2>0">,ветви параболы направлены вверх.
2 . Найдем дискриминант квадратного трехчлена
Title="D=b^2-4ac=9-4*2*(-5)=49>0">
Дискриминант квадратного трехчлена больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ.
Для того, чтобы найти их координаты, решим уравнение:
,
3 . Координаты вершины параболы:
4 . Точка пересечения параболы с осью OY: (0;-5),и ей симметричная относительно оси симметрии параболы.
Нанесем эти точки на координатную плоскость, и соединим их плавной кривой:
Этот способ можно несколько упростить.
1. Найдем координаты вершины параболы.
2. Найдем координаты точек, стоящих справа и слева от вершины.
Воспользуемся результатами построения графика функции
Кррдинаты вершины параболы
Ближайшие к вершине точки, расположенные слева от вершины имеют абсциссы соответственно -1;-2;-3
Ближайшие к вершине точки, расположенные справа имеют абсциссы соответственно 0;1;2
Подставим значения х в уравнение функции, найдем ординаты этих точек и занесем их в таблицу:
Нанесем эти точки на координатную плоскость и соединим плавной линией:
2 . Уравнение квадратичной функции имеет вид - в этом уравнении - координаты вершины параболы
или в уравнении квадратичной функции , и второй коэффициент - четное число.
Построим для примера график функции .
Теперь рассмотрим построение графика функции . В уравнении этой функции , и второй коэффициент - четное число.
Выделим в уравнении функции полный квадрат:
Следовательно, координаты вершины параболы: . Старший коэффициент равен 1, поэтому построим по шаблону параболу с вершиной в точке (-2;1):
3 . Уравнение квадратичной функции имеет вид y=(x+a)(x+b)
Построим для примера график функции y=(x-2)(x+1)
1. Вид уравнения функции позволяет легко найти нули функции - точки пересечения графика функции с осью ОХ:
(х-2)(х+1)=0, отсюда
2. Координаты вершины параболы:
3. Точка пересечения с осью OY: с=ab=(-2)(1)=-2 и ей симметричная.
Нанесем эти точки на координатную плоскость и построим график:
График квадратичной функции.
Перед вами график квадратичной функции вида .
Кликните по чертежу.
Подвигайте движки.
Исследуйте зависимость
- ширины графика функции
от значения коэффициента
,
- сдвига графика функции
вдоль оси
от значения
,
Сдвига графика функции
вдоль оси
от значения
- направления ветвей параболы от знака коэффициента
- координат вершины параболы
Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!
Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.
Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.
Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.
Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.
Линейной функцией называется функция вида y=kx+b, где x-независимая переменная, k и b-любые числа.
Графиком линейной функции является прямая.
1. Чтобы постороить график функции, нам нужны координаты двух точек, принадлежащих графику функции. Чтобы их найти, нужно взять два значения х, подставить их в уравнение функции, и по ним вычислить соответствующие значения y.
Например, чтобы построить график функции y= ⅓
x+2, удобно взять x=0 и x=3, тогда ординаты эти точек будут равны y=2 и y=3.
Получим точки А(0;2) и В(3;3). Соединим их и получим график функции y= ⅓
x+2:
2.
В формуле y=kx+b число k называется коэффицентом пропорциональности:
если k>0, то функция y=kx+b возрастает
если k
Коэффициент b показывает смещение графика функции вдоль оси OY:
если b>0, то график функции y=kx+b получается из графика функцииy=kx сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY
если b
На рисунке ниже изображены графики функций y=2x+3; y= ½
x+3; y=x+3
Заметим, что во всех этих функциях коэффициент k больше нуля, и функции являются возрастающими. Причем, чем больше значение k, тем больше угол наклона прямой к положительному направлению оси OX.
Во всех функциях b=3 – и мы видим, что все графики пересекают ось OY в точке (0;3)
Теперь рассмотрим графики функций y=-2x+3; y=- ½ x+3; y=-x+3
На этот раз во всех функциях коэффициент k меньше нуля, и функции убывают. Коэффициент b=3, и графики также как в предыдущем случае пересекают ось OY в точке (0;3)
Рассмотрим графики функций y=2x+3; y=2x; y=2x-3
Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты k равны 2. И мы получили три параллельные прямые.
Но коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:
График функции y=2x+3 (b=3) пересекает ось OY в точке (0;3)
График функции y=2x (b=0) пересекает ось OY в точке (0;0) - начале координат.
График функции y=2x-3 (b=-3) пересекает ось OY в точке (0;-3)
Итак, если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем сразу представить, как выглядит график функции y=kx+b.
Если k 0
Если k>0 и b>0 , то график функции y=kx+b имеет вид:
Если k>0 и b , то график функции y=kx+b имеет вид:
Если k, то график функции y=kx+b имеет вид:
Если k=0 , то функция y=kx+b превращается в функцию y=b и ее график имеет вид:
Ординаты всех точек графика функции y=b равны b Если b=0 , то график функции y=kx (прямая пропорциональность) проходит через начало координат:
3. Отдельно отметим график уравнения x=a. График этого уравнения представляет собой прямую линию, параллельую оси OY все точки которой имеют абсциссу x=a.
Например, график уравнения x=3 выглядит так:
Внимание!
Уравнение x=a не является функцией, так одному значению аргумента соотвутствуют разные значения функции, что не соответствует определению функции.
4. Условие параллельности двух прямых:
График функции y=k 1 x+b 1 параллелен графику функции y=k 2 x+b 2 , если k 1 =k 2
5. Условие перепендикулярности двух прямых:
График функции y=k 1 x+b 1 перепендикулярен графику функции y=k 2 x+b 2 , если k 1 *k 2 =-1 или k 1 =-1/k 2
6. Точки пересечения графика функции y=kx+b с осями координат.
С осью ОY. Абсцисса любой точки, принадлежащей оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Получим y=b. То есть точка пересечения с осью OY имеет координаты (0;b).
С осью ОХ: Ордината любой точки, принадлежащей оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. Получим 0=kx+b. Отсюда x=-b/k. То есть точка пересечения с осью OX имеет координаты (-b/k;0):
Национальный научно-исследовательский университет
Кафедра прикладной геологии
Реферат по высшей математике
На тему: «Основные элементарные функции,
их свойства и графики»
Выполнил:
Проверил:
преподаватель
Определение. Функция, заданная формулой у=а х (где а>0, а≠1), называется показательной функцией с основанием а.
Сформулируем основные свойства показательной функции:
1. Область определения - множество (R) всех действительных чисел.
2. Область значений - множество (R+) всех положительных действительных чисел.
3. При а > 1 функция возрастает на всей числовой прямой; при 0<а<1 функция убывает.
4. Является функцией общего вида.
, на интервале xÎ [-3;3] , на интервале xÎ [-3;3]Функция вида у(х)=х n , где n – число ÎR, называется степенной функцией. Число n может принимать раличные значения: как целые, так и дробные, как четные, так и нечетные. В зависимости от этого, степенная функция будет иметь разный вид. Рассмотрим частные случаи, которые являются степенными функциями и отражают основные свойства данного вида кривых в следующем порядке: степенная функция у=х² (функция с четным показателем степени – парабола), степенная функция у=х³ (функция с нечетным показателем степени – кубическая парабола) и функция у=√х (х в степени ½) (функция с дробным показателем степени), функция с отрицательным целым показателем (гипербола).
Степенная функция у=х²
1. D(x)=R – функция определена на все числовой оси;
2. E(y)= и возрастает на промежутке
Степенная функция у=х³
1. График функции у=х³ называется кубической параболой. Степенная функция у=х³ обладает следующими свойствами:
2. D(x)=R – функция определена на все числовой оси;
3. E(y)=(-∞;∞) – функция принимает все значения на своей области определения;
4. При х=0 у=0 – функция проходит через начало координат O(0;0).
5. Функция возрастает на всей области определения.
6. Функция является нечетной (симметрична относительно начала координат).
, на интервале xÎ [-3;3]В зависимости от числового множителя, стоящего перед х³, функция может быть крутой/пологой и возрастать/убывать.
Степенная функция с целым отрицательным показателем:
Если показатель степени n является нечетным, то график такой степенной функции называется гиперболой. Степенная функция с целым отрицательным показателем степени обладает следующими свойствами:
1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) для любого n;
2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), если n – нечетное число; E(y)=(0;∞), если n – четное число;
3. Функция убывает на всей области определения, если n – нечетное число; функция возрастает на промежутке (-∞;0) и убывает на промежутке (0;∞), если n – четное число.
4. Функция является нечетной (симметрична относительно начала координат), если n – нечетное число; функция является четной, если n – четное число.
5. Функция проходит через точки (1;1) и (-1;-1), если n – нечетное число и через точки (1;1) и (-1;1), если n – четное число.
, на интервале xÎ [-3;3]Степенная функция с дробным показателем
Степенная функция с дробным показателем вида (картинка) имеет график функции, изображенный на рисунке. Степенная функция с дробным показателем степени обладает следующими свойствами: (картинка)
1. D(x) ÎR, если n – нечетное число и D(x)= , на интервале xÎ , на интервале xÎ [-3;3]
Логарифмическая функция у = log a x обладает следующими свойствами:
1. Область определения D(x)Î (0; + ∞).
2. Область значений E(y) Î (- ∞; + ∞)
3. Функция ни четная, ни нечетная (общего вида).
4. Функция возрастает на промежутке (0; + ∞) при a > 1, убывает на (0; + ∞) при 0 < а < 1.
График функции у = log a x может быть получен из графика функции у = а х с помощью преобразования симметрии относительно прямой у = х. На рисунке 9 построен график логарифмической функции для а > 1, а на рисунке 10 - для 0 < a < 1.
; на интервале xÎ ; на интервале xÎФункции y = sin х, у = cos х, у = tg х, у = ctg х называют тригонометрическими функциями.
Функции у = sin х, у = tg х, у = ctg х нечетные, а функция у = соs х четная.
Функция y = sin (х).
1. Область определения D(x) ÎR.
2. Область значений E(y) Î [ - 1; 1].
3. Функция периодическая; основной период равен 2π.
4. Функция нечетная.
5. Функция возрастает на промежутках [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] и убывает на промежутках [ π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n Î Z.
График функции у = sin (х) изображен на рисунке 11.